\(\int \cos ^3(e+f x) (b (c \tan (e+f x))^n)^p \, dx\) [485]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 82 \[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\frac {\cos ^2(e+f x)^{\frac {n p}{2}} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2} (-2+n p),\frac {1}{2} (1+n p),\frac {1}{2} (3+n p),\sin ^2(e+f x)\right ) \sin (e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p}{f (1+n p)} \]

[Out]

(cos(f*x+e)^2)^(1/2*n*p)*hypergeom([1/2*n*p-1, 1/2*n*p+1/2],[1/2*n*p+3/2],sin(f*x+e)^2)*sin(f*x+e)*(b*(c*tan(f
*x+e))^n)^p/f/(n*p+1)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.11 (sec) , antiderivative size = 82, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {3740, 2697} \[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\frac {\sin (e+f x) \cos ^2(e+f x)^{\frac {n p}{2}} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2} (n p-2),\frac {1}{2} (n p+1),\frac {1}{2} (n p+3),\sin ^2(e+f x)\right ) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p}{f (n p+1)} \]

[In]

Int[Cos[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p,x]

[Out]

((Cos[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Hypergeometric2F1[(-2 + n*p)/2, (1 + n*p)/2, (3 + n*p)/2, Sin[e + f*x]^2]*Sin[e +
f*x]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)/(f*(1 + n*p))

Rule 2697

Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sec[e + f
*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 1)*((Cos[e + f*x]^2)^((m + n + 1)/2)/(b*f*(n + 1)))*Hypergeometric2F1[(n + 1)/2,
(m + n + 1)/2, (n + 3)/2, Sin[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(n - 1)/2] &&  !In
tegerQ[m/2]

Rule 3740

Int[(u_.)*((b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[b^IntPart[p]*((b*(c*Tan[e + f*x
])^n)^FracPart[p]/(c*Tan[e + f*x])^(n*FracPart[p])), Int[ActivateTrig[u]*(c*Tan[e + f*x])^(n*p), x], x] /; Fre
eQ[{b, c, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x]
)^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]])

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left ((c \tan (e+f x))^{-n p} \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p\right ) \int \cos ^3(e+f x) (c \tan (e+f x))^{n p} \, dx \\ & = \frac {\cos ^2(e+f x)^{\frac {n p}{2}} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2} (-2+n p),\frac {1}{2} (1+n p),\frac {1}{2} (3+n p),\sin ^2(e+f x)\right ) \sin (e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p}{f (1+n p)} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.

Time = 7.20 (sec) , antiderivative size = 1552, normalized size of antiderivative = 18.93 \[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\frac {(6+2 n p) \left (\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,1,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-6 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,2,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,3,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-8 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,4,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )\right ) \cos ^3\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \cos ^3(e+f x) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p}{f (1+n p) \left (-\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,2,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,3,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-36 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,4,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+32 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,5,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,1,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-6 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,2,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+12 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,3,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-8 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,4,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )+(3+n p) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,1,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-18 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,2,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-6 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,2,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+36 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,3,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+12 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,3,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-8 (3+n p) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (1+n p),n p,4,\frac {1}{2} (3+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,2,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)-12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,3,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)+36 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,4,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)-32 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),n p,5,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)-n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,1,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)+6 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,2,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)-12 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,3,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)+8 n p \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2} (3+n p),1+n p,4,\frac {1}{2} (5+n p),\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \cos (e+f x)\right )} \]

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^3*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p,x]

[Out]

((6 + 2*n*p)*(AppellF1[(1 + n*p)/2, n*p, 1, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] - 6*AppellF1
[(1 + n*p)/2, n*p, 2, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 12*AppellF1[(1 + n*p)/2, n*p, 3,
(3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] - 8*AppellF1[(1 + n*p)/2, n*p, 4, (3 + n*p)/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Cos[(e + f*x)/2]^3*Cos[e + f*x]^3*Sin[(e + f*x)/2]*(b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p)
/(f*(1 + n*p)*(-AppellF1[(3 + n*p)/2, n*p, 2, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 12*Appel
lF1[(3 + n*p)/2, n*p, 3, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] - 36*AppellF1[(3 + n*p)/2, n*p,
4, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 32*AppellF1[(3 + n*p)/2, n*p, 5, (5 + n*p)/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 1, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] - 6*n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 2, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2] + 12*n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 3, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] - 8*n*
p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 4, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (3 + n*p)*AppellF1
[(1 + n*p)/2, n*p, 1, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 - 18*AppellF1[(
1 + n*p)/2, n*p, 2, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 - 6*n*p*AppellF1[
(1 + n*p)/2, n*p, 2, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 + 36*AppellF1[(1
+ n*p)/2, n*p, 3, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 + 12*n*p*AppellF1[
(1 + n*p)/2, n*p, 3, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 - 8*(3 + n*p)*Ap
pellF1[(1 + n*p)/2, n*p, 4, (3 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2 + AppellF
1[(3 + n*p)/2, n*p, 2, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] - 12*AppellF1[(3 + n
*p)/2, n*p, 3, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] + 36*AppellF1[(3 + n*p)/2, n
*p, 4, (5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] - 32*AppellF1[(3 + n*p)/2, n*p, 5, (
5 + n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] - n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 1, (5 +
n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] + 6*n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 2, (5 +
n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] - 12*n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 3, (5 +
n*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x] + 8*n*p*AppellF1[(3 + n*p)/2, 1 + n*p, 4, (5 + n
*p)/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]))

Maple [F]

\[\int \cos \left (f x +e \right )^{3} \left (b \left (c \tan \left (f x +e \right )\right )^{n}\right )^{p}d x\]

[In]

int(cos(f*x+e)^3*(b*(c*tan(f*x+e))^n)^p,x)

[Out]

int(cos(f*x+e)^3*(b*(c*tan(f*x+e))^n)^p,x)

Fricas [F]

\[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\int { \left (\left (c \tan \left (f x + e\right )\right )^{n} b\right )^{p} \cos \left (f x + e\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^3*(b*(c*tan(f*x+e))^n)^p,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(((c*tan(f*x + e))^n*b)^p*cos(f*x + e)^3, x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)**3*(b*(c*tan(f*x+e))**n)**p,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\int { \left (\left (c \tan \left (f x + e\right )\right )^{n} b\right )^{p} \cos \left (f x + e\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^3*(b*(c*tan(f*x+e))^n)^p,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(((c*tan(f*x + e))^n*b)^p*cos(f*x + e)^3, x)

Giac [F]

\[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\int { \left (\left (c \tan \left (f x + e\right )\right )^{n} b\right )^{p} \cos \left (f x + e\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^3*(b*(c*tan(f*x+e))^n)^p,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(((c*tan(f*x + e))^n*b)^p*cos(f*x + e)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(e+f x) \left (b (c \tan (e+f x))^n\right )^p \, dx=\int {\cos \left (e+f\,x\right )}^3\,{\left (b\,{\left (c\,\mathrm {tan}\left (e+f\,x\right )\right )}^n\right )}^p \,d x \]

[In]

int(cos(e + f*x)^3*(b*(c*tan(e + f*x))^n)^p,x)

[Out]

int(cos(e + f*x)^3*(b*(c*tan(e + f*x))^n)^p, x)